Question

【题目】已知a＞0，设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：实数x满足（x﹣3）2＜1．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣a）（x﹣3a）＜0

当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．

由（x﹣3）2＜1，得2＜x＜4，

即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜4．

因为p∧q为真，所以p真且q真，

所以实数x的取值范围是2＜x＜3．

（2）解：由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣a）（x﹣3a）＜0，

所以，p为真时实数x的取值范围是a＜x＜3a．

因为p是q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件

所以a≤2且且4≤3a

所以实数a的取值范围为： ．

【解析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【考点精析】利用复合命题的真假对题目进行判断即可得到答案，需要熟知“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．