Question

已知函数g(x)=

1

x

+lnx，f(x)=mx-

m-1

x

-lnx(m∈R)．
（Ⅰ）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（Ⅱ）设h(x)=

2e

x

，若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，即y′≥0或y′≤0在[1，+∞）上恒成立，从而转化为函数最值处理；
（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）-g（x）-h（x），则在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，等价于x∈[1，e]时，F（x）_max＞0，进而转化为求函数最大值问题．

解答：解：（Ⅰ）y=f（x）-g（x）=mx-

m

x

-2lnx，y′=

mx2-2x+m

x2

，
由于y=f（x）-g（x）在其定义域内为单调函数，则mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）上恒成立，
即m≥

2x

x2+1

或者m≤

2x

x2+1

在[1，+∞）上恒成立，
而0＜

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，故m≥1或者m≤0，
综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F（x）=mx-

m

x

-2lnx-

2e

x

，
①当m≤0时，由x∈[1，e]得，mx-

m

x

≤0，-2lnx-

2e

x

＜0，
所以在[1，e]上不存在一个x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）；            
②当m＞0时，F′（x）=m+

m

x2

-

2

x

+

2e

x2

=

mx2-2x+m+2e

x2

，
因为x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx²+m＞0，所以F′（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，故F（x）在x∈[1，e]上单调递增，
F（x）_max=me-

m

e

-4，只要me-

m

e

-4＞0，解得m＞

4e

e2-1

，
故m的取值范围是（

4e

e2-1

，+∞）．

点评：本题考查应用导数研究函数的单调性、最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力．