Question

锐角二面角α-l-β的棱l上一点A，AB?α，且与棱成45°角，与β成30°角，则二面角α-l-β的大小是（　　）

A．30°

B．75°

C．60°

D．45°

Answer 1

分析：利用图形，根据题设条件，先作出线面角，再利用三垂线定理作出二面角的平面角；证明符合定义；通过解三角形求解即可．

解答：解：如图：过B作BO⊥β，垂足为O，
过O在β内作OC⊥l于C，连接BC． 
∵BO⊥β，∴OC是BC在平面β内的射影，由三垂线定理，BC⊥l，
∴∠BCO为二面角α-l-β的平面角．
又∵OA是AB在平面β内的射影，
∴∠BAO为AB与β所成的角，∠BAO=

π

6

，BO=

1

2

AB；
∵∠BAC=

π

4

，在Rt△ABC中，BC=

2

2

AB；
在Rt△BCO中，sin∠BCO=

BO

BC

=

2

2

；
∴∠BCO=

π

4

．
二面角α-l-β的大小是

π

4

，
故选D．

点评：本题考查二面角的平面角及求法．常用三垂线定理或二面角的平面角的定义作二面角的平面角．空间角的求法：1、作角（作垂线段）；2、证角（符合定义）；3、计算求角．