Question

定圆O的直径AB=2R，BC为⊙O的动弦，延长BC至D，使CD=BC，AC与OD交于P，求点P轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆

分析：先建立坐标系，设出相应的坐标，然后用要求的点的坐标表示出已知轨迹方程的图象上的点的坐标，再代入已知的轨迹方程，即可求出点P的横纵坐标的方程．本题宜先借且图象分析其几何特征，将几何特征进行正确转化．

解答： 解：以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则圆O的方程为x²+y²=R²，
设动点P（x，y），由题意可知P是△ABD的重心．
由A（-R，0），B（-R，0），
令动点C（x₀，y₀），则D（2x₀-R，2y₀），
重心坐标公式：

x= -R+R+2x0-R 3 y= 2y0 3

，
即

x0= 3x+R 2 y0= 3y 2

，
代入x²+y²=R²，
整理得所求轨迹方程为（x+

R

3

）²+y²=

4

9

R2（y≠0）．

点评：考查代入法求轨迹方程，本题对识图的能力要求较高．尤其是P点是三角形的重心这个结论的发现，必对图形进行细致的分析事才能发现．