Question

如图，设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）长轴的右端点为A，短轴端点分别为B、C，另有抛物线y=x²+b．
（Ⅰ）若抛物线上存在点D，使四边形ABCD为菱形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若a=2，过点B作抛物线的切线，切点为P，直线PB与椭圆相交于另一点Q，求

|PQ|

|QB|

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由四边形ABCD是菱形，可得D的坐标，且

a2+b=2b a2+b2 =2b

，求出a，b，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）确定PQ的方程，与椭圆方程联立，可得点Q的横坐标，进而可求

|PQ|

|QB|

的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由四边形ABCD是菱形，得D（a，a²+b），
且

a2+b=2b a2+b2 =2b

，解得a=

3

3

，b=

1

3

，
所以椭圆方程为3x²+9y²=1．
（Ⅱ）不妨设P（t，t²+b）（t≠0），
因为y'|_x=t=2x|_x=t=2t，
所以PQ的方程为y=2t（x-t）+t²+b，即y=2tx-t²+b．
又因为直线PQ过点B，所以-t²+b=-b，即b=

t2

2

．
所以PQ的方程为y=2tx-

t2

2

．
联立方程组

y=2tx- t2 2 x2 4 + 4y2 t4 =1

，消去y，得（t²+64）x²-32tx=0．
所以点Q的横坐标为xQ=

32t

t2+64

，
所以

|PQ|

|QB|

=

xP-xQ

xQ-xB2

=

t2

32

+1．
又t²=2b∈（0，4），所以

|PQ|

|QB|

的取值范围为(1 ， 

9

8

)．

点评：本题考查椭圆、抛物线方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．