Question

已知函数f（x）=2sin2xcos²

φ

2

+cos2xsinφ-sin2x（0＜φ＜π）图象的一条对称轴为x=

π

2

．
（Ⅰ）求的φ值；
（Ⅱ）设函数F（x）=2f（x）+f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），若函数F（ωπx）的图象中至少有一个最高点和一个最低点都落在椭圆x²+

y2

9

=1的内部，求正数ω的取值范围．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,导数的运算,同角三角函数间的基本关系,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）化简函数，利用0＜φ＜π，图象的一条对称轴为x=

π

2

，即可求的φ值；
（Ⅱ）求出函数f（ωπx）的解析式，由三角函数的图象平移可知要满足函数f（ωπx）的图象中至少有一个最高点和一个最低点同时在椭圆x²+

y2

9

=1的内部，则需至少一个最低点在椭圆x²+

y2

9

=1的内部，由此列不等式求解正数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sin2xcos²

φ

2

+cos2xsinφ-sin2x=sin（2x+φ），
∵0＜φ＜π，图象的一条对称轴为x=

π

2

，
∴φ=

π

2

；
（Ⅱ）F（x）=2f（x）+f′（x）=2cos2x-2sin2x=2

2

cos（2x+

π

4

），
∴F（ωπx）=2

2

cos（2ωπx+

π

4

），
该函数图象是把y=cosx的图象向左平移个

π

4

单位，然后把图象上点的横坐标变为原来的

1

2ωπ

，
再把图象上点的纵坐标扩大到原来的2

2

倍得到的，
∴要使函数f（ωπx）的图象中至少有一个最高点和一个最低点同时在x²+

y2

9

=1的内部，
则需至少一个最低点（

3

8ω

，-2

2

）在x²+

y2

9

=1的内部，
即（

3

8ω

）²+

8

9

≤1，
∵ω＞0，
∴ω≥

9

8

，
∴正数a的取值范围是[

9

8

，+∞）．

点评：本题主要考查本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的对称性，属于中档题．