Question

设数列{a_n}{b_n}的各项都是正数，S_n为数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*．都有，b₁=e，．c_n=a_n•lnb_n（e是自然对数的底数，e=2.71828…）
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）试探究是否存在整数λ，使得对于任意n∈N^*，不等式恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）因为a_n＞0，，①
当n=1时，，解得a₁=1；
当n≥2时，有，②
由①-②得，．
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=a_n+a_n-1．
因为a_n＞0，所以a_n-a_n-1=1（n≥2），即数列{a_n}是等差数列，
所以a_n=a₁+（n-1）d=1+n-1=n．
又因为，且b_n＞0，取自然对数得lnb_n+1=2lnb_n，
由此可知数列{lnb_n}是以lnb₁=lne=1为首项，以2为公比的等比数列，
所以，
所以．
（2）由（1）知，，
所以 ③
④
由③-④得，
所以．
（3）由a_n=n，得，
由可得，
即使得对于任意n∈N^*且n≥2，不等式恒成立等价于使得对于
任意n∈N^*且n≥2，不等式恒成立．
∵．
又令，
由
可得，
化简得：，
解得2≤n≤3，所以当n=2或3时，g（n）取最小值，最小值为，
所以λ=2时，原不等式恒成立．
分析：（1）根据原题给出的递推式，取n=1求解a₁，取n=n-1得另一递推式，两式作差后可以判断数列{a_n}为等差数列，因为，两边取对数后可得到一新数列{lnb_n}，并且同时得到该数列的首项和公比，则数列{a_n}、{b_n}的通项公式可求；
（2）把求得的数列{a_n}、{b_n}的通项公式代入c_n=a_n•lnb_n后，利用错位相减法可求数列{c_n}的前n项和；
（3）求出数列{a_n}的前n项和，连同和T_n代入不等式，整理后求不等式左边的最大值和右边的最小值，利用两边夹的办法求实数λ的值．
点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的前n项和，对于（3）的求解运用了数列的函数特性及基本不等式求最值，该题是一道综合性较强的题目，考查了学生综合处理问题的能力和计算能力，此题算得上是难度性较强的题目．