Question

（本题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般  情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当

 桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20

 辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度 x的一次函数．

(1)当0≤x≤200时，求函数v (x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)

 

Answer 1

【答案】

 (1)；

(2)当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333.

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

                                                            

【解析】本题主要考查一次函数的应用、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．

（1）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；

（2）先在0≤x≤20上，车流量函数为增函数，得最大值为v（20）=1200，然后在20≤x≤200上，车流量函数为二次函数，然后根据二次函数的最大值问题解答。

解：(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b.

再由已知得解得………………………………4分

故函数v(x)的表达式为

……………………………………………………6分

(2)依题意并由(1)可得

………………………………………8分

当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；……9分

当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤＝. ……………10分

当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．

所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.……………11分

综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333.

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

                                                              ………12分