Question

2．已知m，n∈R，f（x）=x²-mnx．
（1）当n=1时，解关于x的不等式：f（x）＞2m²；
（2）若m＞0，n＞0，且m+n=1，证明：$f（\frac{1}{m}）+f（\frac{1}{n}）≥7$．

Answer 1

分析 （1）化简不等式，然后通过分类讨论求解即可．
（2）化简不等式的左侧，构造二次函数，然后求解即可．

解答 解：（1）不等式f（x）＞2m²代入整理为x²-mx-2m²＞0，
∴（x-2m）（x+m）＞0，
当m＞0时，{x|x＞2m或x＜-m}，
m=0时，{x|x≠0}，
m＜0时，{x|x＞-m或x＜2m}…（6分）
（2）$f（\frac{1}{m}）+f（\frac{1}{n}）=\frac{1}{m^2}+\frac{1}{n^2}-1={（\frac{1}{mn}）^2}-2（\frac{1}{mn}）-1$，
∵m+n=1，∴$mn≤\frac{1}{4}$，∴$\frac{1}{mn}≥4$，所以${（\frac{1}{mn}）^2}-2（\frac{1}{mn}）-1≥7$，
即$f（\frac{1}{m}）+f（\frac{1}{n}）≥7$…（12分）

点评 本题考查不等式的解法与证明，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，难度比较大．