Question

【题目】如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，的面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设圆心在轴上的圆与椭圆在轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设，根据题意，得到，，从而可得，进而得到椭圆的方程；

（2）设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，根据题意，利用圆和椭圆的对称性，得到，再由，得到或，分类讨论，即可求得圆的半径.

（1）设，其中，

由，可得，

从而，故，

从而，由，得，

因此，所以，故，

因此，所求椭圆的标准方程为.

（2）如图所示，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，

由是两个交点，是圆的切线，且，

由圆和椭圆的对称性，易知，，

由（1）知，所以，

再由，得，

由椭圆方程得，即，解得或，

当时，重合，此时题设要求的圆不存在，

当时，过分别与垂直的直线的交点即为圆心，

由是圆的切线，且，知，

又，故圆的半径.