Question

【题目】已知函数，函数．

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）当时，证明：对一切的，都有恒成立；

（Ⅲ）当时，函数，有最小值，记的最小值为，证明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）极大值是，无极小值（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析

【解析】

（Ⅰ）求出函数的导数，利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（Ⅱ）问题可转化为证明，令，，通过求导判断单调性可得到的最小值，的最大值是，即可证明不等式成立；

（Ⅲ）求出函数的导数，结合的范围，可判断函数的单调性及最小值，从而可得到的表达式，然后通过构造函数判断的单调性，即可证明结论。

解：（Ⅰ），令，则，

令，解得：，

令，解得：，

故在处取得极大值，极大值是，无极小值；

（Ⅱ）要证，即证，

即证：，

令，，则，

令，则，令，则，

故在递减，在递增，

故在处取得极小值也是最小值，

令，，

故在递增，在递减，

故在处取得极大值也是最大值，

故对一切的，恒成立，即；

（Ⅲ），设，则，

由，得，而得，

故在递增，又，，

故存在唯一，使得，即，即，

当，，当，，

故在递减，在递增，

故在处取极小值也是最小值，

而，由，故，即，

故在递减，

故，即，

从而，

即．