Question

【题目】已知函数.

（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；

（2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值；

（3）当，且时，证明：.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）的单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为；（3）证明见解析.

【解析】

（1）求导得到，代入计算得到答案.

（2）求导得到，的变化情况表，得到单调区间和极值.

（3）证明等价于，设，求导得到函数单调递增，计算最小值得到证明.

（1）函数的定义域为，所以.

又曲线在点处的切线与直线平行，

所以，即.

（2）令，得，当变化时，，的变化情况如下表：

	+	0	-
		极大值

由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是，

所以在处取得极大值，的极大值为.

（3）当时，.由于，要证，

只需证明，令，则.

因为，所以，故在上单调递增，

当时，，即成立．

故当时，有，即.