Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）设，曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的最小值；

（Ⅱ）若只有一个零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）-8；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用导数几何意义先求出切线的方程，再根据切线方程求出，然后利用二次函数的单调性求最值；（Ⅱ）先对函数求导可得，再通过分类讨论研究函数的单调性，然后根据函数的极值的情况函数零点的关系得出的取值范围即可。

（Ⅰ）由已知可得，，，

所以曲线在点处的切线方程为.

令，得.

因为，所以在上单调递增，

所以当时，.

（Ⅱ）①若，因为或，，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

所以的极小值为，极大值为.

因为，若只有一个零点，

则或.

由，得或.又，所以.

由，得.

因为，所以，得，

所以或.

②若，，则在上是增函数.

因为，所以只有一个零点-1.

③若，因为或，，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

所以的极小值为，极大值为.

因为，，若只有一个零点，

则，即.

因为，所以，得.

综上，实数的取值范围为.