Question

【题目】已知数列，如果存在常数p，使得对任意正整数n，总有成立，那么我们称数列为“p-摆动数列”．

（Ⅰ）设，，，判断、是否为“p-摆动数列”，并说明理由；

（Ⅱ）已知“p-摆动数列”满足，，求常数p的值；

（Ⅲ）设，且数列的前n项和为，求证：数列是“p-摆动数列”，并求出常数p的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）数列不是“p-摆动数列”，数列是“p-摆动数列”，详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析，p的取值范围是.

【解析】

（Ⅰ）假设数列是“p-摆动数列”，通过对取特殊值，可以证明出数列不是“p-摆动数列”；

通过数列的通项公式和指数运算的法则，结合“p-摆动数列”的定义，可以证明出数列是“p-摆动数列”；

（Ⅱ）利用递推公式，可以求出的值，由是“p-摆动数列”，这样可以求出常数p的取值范围，通过是“p-摆动数列”的定义，可以得到奇数项、偶数项与p的大小关系，这样利用通项公式最后可以求出常数p的值；

（Ⅲ）分类讨论：分别当n为偶数时、当n为奇数时，求出，最后确定的表达式，根据“p-摆动数列”的定义，可以证明数列是“p-摆动数列，分别当n为奇数时、当n为偶数时，利用的单调性，求出常数p的取值范围即可．

解：（Ⅰ）假设数列是“p-摆动数列”，

即存在常数p，总有对任意成立，

不妨取时，则；取时，则，显然常数p不存在，

所以数列不是“p-摆动数列”

由，于是对任意成立，其中．

所以数列是“p-摆动数列”．

（Ⅱ）由数列为“p-摆动数列”，又，

所以，即存在常数，使对任意，总有成立，及，所以．

因为，所以．

同理因为，所以．所以，即，

解得，即．

同理，解得，即．

综上．

（Ⅲ）证明：由，．

当n为偶数时，；

当n为奇数时，．

所以，．

显然存在，使对任意正整数n，总有成立，

所以数列是“p-摆动数列”．

当n为奇数时，因为，单调递减，所以，只要即可．

当n为偶数时，单调递增，，只要即可．

综上，，所以p的取值范围是．