【题目】已知点E在椭圆上,以E为圆心的圆与x轴相切于椭圆C的右焦点,与y轴相交于A,B两点,且是边长为2的正三角形.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知圆,设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M、N两点,试判断以为直径的圆是否过定点?若过定点,求出该定点坐标,并直接写出的值;若不过定点,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)以为直径的圆过原点,坐标为,且为定值
【解析】
(Ⅰ)根据圆的切线性质可以知道,这样可以求出点E的坐标,利用等边三角形的性质,可以求出、的值,再根据,最后求出的值,也就求出椭圆C的方程;
(Ⅱ)当过点P且与圆O相切的切线的斜率不存在时,设出直线方程,求出M、N两点的坐标,判断是否成立,可以判断以为直径的圆是否过定点,也就能求出的值;
当过点P且与圆O相切的切线的斜率存在时,设出直线的截距式方程,设出M、N两点的坐标,根据直线和圆相切,利用圆心到直线的距离等于半径,可得到一个等式,
联立直线方程和椭圆方程,消去,得到一个关于的一元二次方程,利用根与系数关系,计算的值,最后可以求出的值.
解:(Ⅰ)由题意可得轴,则,
因为是边长为2的正三角形,
所以
,且,
解得,,
所以椭圆方程为.
(Ⅱ)当过点P且与圆O相切的切线的斜率不存在时,
可设切线方程为,可得,,
则,所以,
此时以为直径的圆过原点,
为定值;
当过点P且与圆O相切的切线的斜率存在时,可设切线方程为,,,
由直线和圆相切可得,即,
联立直线方程和椭圆方程,
可得,
即有,,,
,
可得,
此时.
综上可得以为直径的圆过原点,且为定值.
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【题目】如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,是等边三角形,四边形ABCD是矩形,,F为棱PA上一点,且,M为AD的中点,四棱锥的体积为.
(1)若,N是PB的中点,求证:平面平面PCD;
(2)在(Ⅰ)的条件,求三棱锥的体积.
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【题目】已知, 为两条不同的直线, , 为两个不同的平面,对于下列四个命题:
①, , , ②,
③, , ④,
其中正确命题的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
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【题目】禽流感一直在威胁我们的生活,某疾病控制中心为了研究禽流感病毒繁殖个数(个)随时间(天)变化的规律,收集数据如下:
天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
繁殖个数 | 6 | 12 | 25 | 49 | 95 | 190 |
作出散点图可看出样本点分布在一条指数型函数的周围.
保留小数点后两位数的参考数据:
,,,,,,,,其中
(1)求出关于的回归方程(保留小数点后两位数字);
(2)已知,估算第四天的残差.
参考公式:
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【题目】众所周知的“太极图”,其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”,整个图形是一个圆形,其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆.给出以下命题:
①在太极图中随机取一点,此点取自黑色阴影部分的概率是;
②当时,直线与黑色阴影部分有公共点;
③当时,直线与黑色阴影部分有两个公共点.
其中所有正确结论的序号是()
A.①B.②C.③D.①②
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【题目】已知数列,如果存在常数p,使得对任意正整数n,总有成立,那么我们称数列为“p-摆动数列”.
(Ⅰ)设,,,判断、是否为“p-摆动数列”,并说明理由;
(Ⅱ)已知“p-摆动数列”满足,,求常数p的值;
(Ⅲ)设,且数列的前n项和为,求证:数列是“p-摆动数列”,并求出常数p的取值范围.
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【题目】某超市国庆大酬宾,购物满100元可参加一次游戏抽奖活动,游戏抽奖规则如下:顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的入口处,小球自由落下过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋中,落入A袋得奖金4元,落入B袋得奖金8元,已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左向右下落的概率都为.已知李女士当天在该超市购物消费128元,按照活动要求,李女士的活动奖金期望值为_____元.
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