Question

【题目】已知函数（a为常数）与x轴有唯一的公共点A．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）曲线在点A处的切线斜率为，若存在不相等的正实数，，满足，证明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合单调性求出f（x）的最小值，从而确定a的范围；
（Ⅱ）求出a的值，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜1＜x2，得到(x121+3lnx1)＝x221+3lnx2，令p（t）=2t+3lnt-2，根据函数的单调性证明即可．

（Ⅰ）因为函数的定义域为，且，

故由题意可知曲线与x轴存在公共点，又，则有

当时，，函数在定义域上递增，满足条件；

当时，函数在上递减，在上递增，

①若时，则，取，则，

故由零点存在定理可知，函数在上还有一个零点，因此不符合题意；

②若，则函数的极小值为，符合题意；

③若，则由函数的单调性，有，取，有．

下面研究函数

，，因为恒成立，故函数在上递增．故，故成立，函数在区间上存在零点，不符合题意．

综上所述：

当时，函数的递增区间为，递减区间为；

当时，函数的递增区间为，无递减区间．

（Ⅱ）容易知道函数在处的切线斜率为，得，

由（Ⅰ）可知，且函数在区间上递增．

不妨设，因为，则，

则有，整理得，

由基本不等式得，故，整理，即．

由函数在上单调递增，所以，即．