【题目】已知函数(a为常数)与x轴有唯一的公共点A.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)曲线在点A处的切线斜率为
,若存在不相等的正实数
,
,满足
,证明:
.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间,结合单调性求出f(x)的最小值,从而确定a的范围;
(Ⅱ)求出a的值,不妨设x1<x2,则0<x1<1<x2,得到(x121+3lnx1)=x221+3lnx2,令p(t)=2t+3lnt-2,根据函数的单调性证明即可.
(Ⅰ)因为函数的定义域为
,且
,
故由题意可知曲线与x轴存在公共点
,又
,则有
当时,
,函数
在定义域上递增,满足条件;
当时,函数
在
上递减,在
上递增,
①若时,则
,取
,则
,
故由零点存在定理可知,函数在
上还有一个零点,因此不符合题意;
②若,则函数
的极小值为
,符合题意;
③若,则由函数
的单调性,有
,取
,有
.
下面研究函数
,
,因为
恒成立,故函数
在
上递增.故
,故
成立,函数
在区间
上存在零点,不符合题意.
综上所述:
当时,函数
的递增区间为
,递减区间为
;
当时,函数
的递增区间为
,无递减区间.
(Ⅱ)容易知道函数在
处的切线斜率为
,得
,
由(Ⅰ)可知,且函数
在区间
上递增.
不妨设,因为
,则
,
则有,整理得
,
由基本不等式得,故
,整理
,即
.
由函数在
上单调递增,所以
,即
.
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【题目】已知点到点
的距离比它到直线
距离小
(Ⅰ)求点的轨迹
的方程;
(Ⅱ)过点作互相垂直的两条直线
,它们与(Ⅰ)中轨迹
分别交于点
及点
,且
分别是线段
的中点,求
面积的最小值.
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【题目】已知点E在椭圆上,以E为圆心的圆与x轴相切于椭圆C的右焦点
,与y轴相交于A,B两点,且
是边长为2的正三角形.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知圆,设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M、N两点,试判断以
为直径的圆是否过定点?若过定点,求出该定点坐标,并直接写出
的值;若不过定点,请说明理由.
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【题目】下列有四个关于命题的判断,其中正确的是()
A.命题“,
”是假命题
B.命题“若,则
或
”是真命题
C.命题“,
”的否定是“
,
”
D.命题“在中,若
,则
是钝角三角形”是真命题
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【题目】已知椭圆的左焦点
,直线
与y轴交于点P.且与椭圆交于A,B两点.A为椭圆的右顶点,B在x轴上的射影恰为
。
(1)求椭圆E的方程;
(2)M为椭圆E在第一象限部分上一点,直线MP与椭圆交于另一点N,若,求
的取值范围.
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【题目】某城市在进行创建文明城市的活动中,为了解居民对“创文”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数.满分为100分).从中随机抽取一个容量为120的样本.发现所有数据均在内.现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示.观察图形,回答下列问题:
(1)算出第三组的频数.并补全频率分布直方图;
(2)请根据频率分布直方图,估计样本的众数、中位数和平均数.(每组数据以区间的中点值为代表)
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【题目】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) |
x∶y | 1∶1 | 2∶1 | 3∶4 | 4∶5 |
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