Question

已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线.当n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）时，该图象是斜率为bⁿ的线段（其中正常数b≠1），该数列｛x_n｝由f（x_n）=n（n=1，2，…）定义.

（Ⅰ）求x₁、x₂和x_n的表达式；

（Ⅱ）求f（x）的表达式，并写出其定义域；

（Ⅲ）证明：y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点.

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）解：依题意f（0）=0，又由f（x1）＝1，当0≤y≤1时，函数y=f（x）的图象是斜率为b0＝1的线段，故由 ＝1得x1＝1． 又由f（x2）＝2，当1≤y≤2时，函数y=f（x）的图象是斜率为b的线段，故由 ＝b，即x2－x1＝得x2＝1＋． 记x0＝0，由函数y=f（x）图象中第n段线段的斜率为bn－1，故得 ． 又f（xn）＝n，f（xn－1）＝n－1； ∴xn－xn－1＝（）n－1，n＝1，2，…． 由此知数列｛xn－xn－1｝为等比数列，其首项为1，公比为． 因b≠1，得xn＝， 即xn＝． （Ⅱ）解：当0≤y≤1，从（Ⅰ）可知y=x，即当0≤x≤1时，f（x）=x. 当n≤y≤n＋1时，即当xn≤x≤xn＋1时，由（Ⅰ）可知 f（x）=n+bn（x－xn）  （xn≤x≤xn＋1，n＝1，2，3，…）． 为求函数f（x）的定义域，须对xn＝（n＝1，2，3，…）进行讨论. 当b＞1时，； 当0＜b＜1时，n→∞，xn也趋向于无穷大. 综上，当b＞1时，y=f< /span>（x）的定义域为［0，）； 当0＜b＜1时，y=f（x）的定义域为［0，＋∞． （Ⅲ）证法一：首先证明当b＞1，1＜x＜时，恒有f（x）＞x成立. 用数学归纳法证明： （ⅰ）由（Ⅱ）知当n=1时，在（1，x2］上，y=f（x）=1+b（x－1），所以f（x）－x=（x－1）（b－1）＞0成立. （ⅱ）假设n=k时在（xk，xk＋1］上恒有f（x）＞x成立. 可得f（xk＋1）＝k＋1＞xk＋1， 在（xk＋1，xk＋2］上，f（x）＝k＋1＋bk＋1（x－xk＋1）， 所以f（x）－x=k+1+bk＋1（x－xk＋1）－x＝（bk＋1－1）（x－xk＋1）＋（k＋1－xk＋1）＞0成立. 由（ⅰ）与（ⅱ）知，对所有自然数n在（xn，xn＋1）上都有f（x）＞x成立. 即1＜x＜时，恒有f（x）＞x． 其次，当b＜1，仿上述证明，可知当x＞1时，恒有f（x）＜x成立. 故函数y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点. 证法二：首先证明当b＞1，1＜x＜时，恒有f（x）＞x成立. 对任意的x∈（1，）存在xn，使xn＜x≤xn＋1， 此时有f（x）－f（xn）＝bn（x－xn）＞x－xn（n≥1），∴f（x）－x＞f（xn）－xn． 又f（xn）＝n＞1＋＋…＋＝xn，∴f（xn）－xn＞0， ∴f（x）－x＞f（xn）－xn＞0． 即有f（x）＞x成立. 其次，当b＜1，仿上述证明，可知当x＞1时，恒有f（x）＜x成立. 故函数f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点.