Question

【题目】如图，岛 、 相距 海里．上午9点整有一客轮在岛 的北偏西 且距岛 海里的 处，沿直线方向匀速开往岛 ，在岛 停留 分钟后前往 市．上午 测得客轮位于岛 的北偏西 且距岛 海里的 处，此时小张从岛 乘坐速度为 海里/小时的小艇沿直线方向前往 岛换乘客轮去 市．

（Ⅰ）若 ，问小张能否乘上这班客轮？
（Ⅱ）现测得 ， ．已知速度为 海里/小时( )的小艇每小时的总费用为( )元，若小张由岛 直接乘小艇去 市，则至少需要多少费用？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根据题意得：
， ， ， ．
在 中，由余弦定理得，
,
所以客轮的航行速度 （海里/小时）．
因为 ，所以 ，
所以 ．
在 中，由余弦定理得， ，
整理得： ，
解得 或 （不合舍去）．
所以客轮从 处到岛 所用的时间 小时，
小张到岛 所用的时间至少为 小时．
由于 ，
所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮.
（Ⅱ）在 中， ， ,
所以 为锐角， ， ．
所以
.
由正弦定理得， ,
所以 ,
所以小张由岛 直接乘小艇去城市 的总费用为
( )，
当且仅当 ，即 时， （元）.
所以若小张由岛 直接乘小艇去 市，其费用至少需 元
【解析】（Ⅰ）根据题目中所给的条件的特点，在△CDE中，由余弦定理得DE．在△ACE中，由余弦定理得AE，最后求出客轮从E处到岛A所用的时间，小张到岛A所用的时间．即可推出正确的答案．
（Ⅱ）求出BC，利用基本不等式求出最值即可．考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识.