Question

（2011•河北区一模）设函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

(m-1)x2+x+2
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）内有2个极值点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论m的取值，讨论函数的单调性．
（Ⅱ）函数f（x）在区间（0，2）内有2个极值点，对应f'（x）=0在区间（0，2）内有两个不等实根，然后利用根的分布去求实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=x²+（m+1）x+1，…（2分）
①当△≤0，即（m-1）²-4≤0，-1≤m≤3时，
函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；…（4分）
②当△＞0，即m＜-1或m＞3时，
令f'（x）=0，解得x=

1-m± m2-2m-3

2

，…（6分）
所以，函数f（x）在(-∞，

1-m- m2-2m-3

2

)内单调递增；
在(

1-m- m2-2m-3

2

，

1-m+ m2-2m-3

2

)内单调递减；
在(

1-m+ m2-2m-3

2

，+∞)内单调递增．…（8分）
（Ⅱ）若f'（x）=0在区间（0，2）内有两个不等实根，
得

△＞0 0＜ 1-m 2 ＜2 f(2)＞0 f(1)＞0.

，解得-

3

2

＜m＜-1．…（13分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，对应参数问题，必须要对参数进行讨论．