Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，上顶点为，右顶点为.若（为坐标原点）的三个内角大小成等差数列.

（1）求椭圆的离心率；

（2）直线与椭圆交于两点，设直线，若面积的最大值为，且该椭圆短轴长小于焦距，求椭圆的标准方程.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】

（1）由已知可得或，并且，在中，即可求出离心率；

（2）根据已知条件可得，进而有，椭圆方程化为，直线过，设，，，直线方程与椭圆方程联立，得到关系，将表示为的函数，根据函数特征，求出最大值，建立的方程，求解即可.

（1）的三个内角大小为，，，

又，则或.

所以椭圆的离心率或.

（2）由，所以中，，

，则.

设椭圆的标准方程为，

直线，，.

直线与椭圆方程联立

消去得，

所以

所以

，

令，，

则，当时，恒成立，

故在上单调递减，.

所以时，，

故椭圆的标准方程为.