Question

17．函数f（x）=∫${\;}_{0}^{x}$t（t-4）dt在[-1，5]上（　　）

• A． 有最大值，无最小值
• B． 有最大值和最小值
• C． 有最小值，无最大值
• D． 无最值

Answer 1

分析 首先由不定积分的基本求法求出f（x）的函数表达式 $\frac{1}{3}$x³-2x²，对函数求导，利用导数求研究函数y=x²-4x在[-1，5]上的单调性，判断出最大值与最小值位置，代入算出结果．

解答 解：f（x）=∫₀^xt（t-4）dt=（$\frac{1}{3}$t³-2t²）|₀^x=$\frac{1}{3}$x³-2x²
知f′（x）=x²-4x，
令f′（x）＞0，解得x＞4，或x＜0，
故函数y=$\frac{1}{3}$x³-2x²，在[0，4]上递减，在[-1，0]、[4，5]上递增，
f（-1）=-$\frac{5}{3}$，f（0）=0，f（4）=-$\frac{32}{3}$，f（5）=-$\frac{25}{3}$，
由此得函数在[-1，5]上有最小值-$\frac{32}{3}$，有最大值0
故选B．

点评 本题考查积分与微分的关系以及定积分的基本求法，考查用导数研究函数的单调性求最值．