Question

【题目】已知函数f（x）= ﹣ ．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式f（f（x））+f（ ）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由2x+1＞1得函数的定义域为R，

又f（﹣x）+f（x）= ﹣ + ﹣ = + ﹣1=1﹣1=0．

则f（﹣x）=﹣f（x），

故f（x）为奇函数

（2）解：f（x）为R上的减函数

证明如下：

任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）= ﹣ ﹣ + = ﹣ = ，

∵x1＜x2，∴ ＜ ，

则f（x1）﹣f（x2）= ＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

故f（x）为R上的减函数

（3）解：由（1）（2）知f（x）在R上是奇函数且单调递减，

由f（f（x））+f（ ）＜0得f（f（x））＜﹣f（ ）=f（﹣ ），

则f（x）＞﹣ ，

∴ ﹣ ＞﹣ ，

即2x＜7，得x＜log27，

故不等式的解集为（﹣∞，log27）

【解析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可，（2）根据函数单调性的定义，利用定义法进行证明，（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化求解即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的判断方法和函数的奇偶性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．