Question

已知函数f（x）=2x³-ax²+6bx在x=-1处有极大值7．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求f（x）在x=1处的切线方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求f （x）的解析式，只需得到含两个a，b的等式，根据函数f （x）在x=-1处有极大值，可知，函数在x=-1处导数等于0，根据极大值为7，可知，x=7时，函数值等于7，这样，就可求出a，b．
（Ⅱ）先对函数求导，再令导数大于0，解出x的范围，为函数的增区间，令导数小于0，解出x的范围，为函数的减区间．
（Ⅲ）先求f （x）在x=1处的导数，就是f （x）在x=1处的切线的斜率，再利用点斜式，求出切线方程．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=6x²-2ax+6b，

f′(-1)=0 f(-1)=7

⇒

6+2a+6b=0 -2-a-6b=7

⇒

a=3 b=-2

，经检验满足题意      
∴f（x）=2x³-3x²-12x．      
（Ⅱ）∵f'（x）=6x²-6x-12，令 6x²-6x-12＜0，
令6x²-6x-12＞0，x²-x-2＜0，
x²-x-2＞0，（x+1）（x-2）＜0，
（x+1）（x-2）＞0，（x+1）（x-2）＜0，
∴x＜-1或x＞2．   （1分）∴-1＜x＜2      
∴f （x）在（-∞，-1）和（2，+∞）内为增函数，
f （x）在（-1，2）内为减函数．
（Ⅲ）∵f'（x）=6x²-6x-12
∴f'（1）=-12（1分）∵f（1）=-13  
∴切线方程为y+13=-12（x-1），即y=-12x-1

点评：本题主要考查利用导数求函数在某一点处的极值，求函数的单调区间，以及倒数的几何意义，属中档题．