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    我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：
    ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；
    ②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q），使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．
    （1）已知幂函数f（x）的图象经过点（2，2），判断g（x）=f（x）+2（x∈R）是否是和谐函数？
    （2）判断函数h(x)=
    1-x2(x≥1)
    2-2x(x＜1)
    是否是和谐函数？
    （3）若函数φ(x)=
    		x2-1
    +t(1≤x≤
    		6
    2
    )    是和谐函数，求实数t的取值范围．
    分析：（1）利用幂函数f（x）的图象经过点（2，2），求出函数的表达式，然后判断g（x）=f（x）+2（x∈R）是否是和谐函数．
    （2）直接利用新定义，判断函数h(x)=
    1-x2(x≥1)
    2-2x(x＜1)
    是否满足和谐函数的定义，即可推出结果；
    （3）利用新定义，函数φ(x)=
    		x2-1
    +t(1≤x≤
    		6
    2
    )    是和谐函数，推出关系式即可求实数t的取值范围．
    解答：解：（1）设f（x）=xα（α∈R），由f（2）=2α=2，得α=1，f（x）=x，g（x）=x+2在R上是增函数，
    令
    g(p)=p+2=p2
    g(q)=q+2=q2
    (p＜q)    ，得p=-1，q=2
    故g（x）=f（x）+2是和谐函数．                  …（4分）
    （2）易得h（x）为R上的减函数，
    ①若p＜q＜1则
    h(p)=2-2p=q2
    h(q)=2-2q=p2
    ，相减得p+q=2与p＜q＜1矛盾；
    ②若1≤p＜q则
    h(p)=1-p2=q2
    h(q)=1-q2=p2
    ，p2+q2=1与1≤p＜q矛盾；
    ③若p＜1≤q则
    h(p)=2-2p=q2
    h(q)=1-q2=p2
    ，p=1与p＜1矛盾．
    故h（x）不是和谐函数．                …（8分）
    （3）φ(x)=
    		x2-1
    +t    在[1，
    		6
    2
    ]    上是增函数，
    由函数φ(x)=
    		x2-1
    +t(1≤x≤
    		6
    2
    )    是和谐函数知，
    函数φ（x）在[1，
    		6
    2
    ]    内存在区间[p，q]（p＜q），使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．
    ∴
    φ(p)=
    		p2-1
    +t=p2
    φ(q)=
    		q2-1
    +t=q2

    ∴p2，q2(1≤p2＜q2≤
    3
    2
    )    是方程
    		m-1
    +t=m    在区间[1，
    3
    2
    ]    内的两个不等实根
    ?x2-x+1-t=0在区间[0，
    		2
    2
    ]    内的两个不等实根，
    (令
    		m-1
    =x)    ?
    △=1-4(1-t)＞0
    0＜
    1
    2
    ＜
    		2
    2
    1-t≥0
    1
    2
    -
    		2
    2
    +1-t≥0
    ?t∈(
    3
    4
    ，
    3-
    		2
    2
    ]    …（12分）
    点评：本题考查新定义的理解以及应用，考查函数与方程的关系，函数的单调性与函数的定义域与函数的值域的综合应用．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=log
    1
    3
    x    ，
    （1）当x∈[
    1
    3
    ，3]    时，求f（x）的反函数g（x）；
    （2）求关于x的函数y=[g（x）]2-2ag（x）+3（a≤3）当x∈[-1.1]时的最小值h（a）；
    （3）我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：
    ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；
    ②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q）使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．
    （Ⅰ）判断（2）中h（x）是否为“和谐函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由；
    （Ⅱ）若关于x的函数y=
    		x2-1
    +t（x≥1）是“和谐函数”，求实数t的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2010年重庆市高一12月月考数学试卷 题型：解答题

    (12分)已知函数，

    (1)当时，求的反函数；

    (2)求关于的函数 当时的最小值；

    (3)我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；②在函数的定义域内存在区间使得函数在区间上的值域为.

    (Ⅰ)判断(2)中是否为“和谐函数”？若是，求出的值或关系式；若不是，请说明理由；

    (Ⅱ)若关于的函数是“和谐函数”，求实数的取值范围.

     

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年重庆一中高一（上）期末数学试卷（解析版） 题型：解答题

    我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：
    ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；
    ②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q），使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．
    （1）已知幂函数f（x）的图象经过点（2，2），判断g（x）=f（x）+2（x∈R）是否是和谐函数？
    （2）判断函数是否是和谐函数？
    （3）若函数是和谐函数，求实数t的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年重庆一中高一（上）12月月考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数，
    （1）当时，求f（x）的反函数g（x）；
    （2）求关于x的函数y=[g（x）]2-2ag（x）+3（a≤3）当x∈[-1.1]时的最小值h（a）；
    （3）我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：
    ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；
    ②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q）使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．
    （Ⅰ）判断（2）中h（x）是否为“和谐函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由；
    （Ⅱ）若关于x的函数y=+t（x≥1）是“和谐函数”，求实数t的取值范围．

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