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    已知函数f(x)=log
    1
    3
    x    ，
    （1）当x∈[
    1
    3
    ，3]    时，求f（x）的反函数g（x）；
    （2）求关于x的函数y=[g（x）]2-2ag（x）+3（a≤3）当x∈[-1.1]时的最小值h（a）；
    （3）我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：
    ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；
    ②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q）使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．
    （Ⅰ）判断（2）中h（x）是否为“和谐函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由；
    （Ⅱ）若关于x的函数y=
    		x2-1
    +t（x≥1）是“和谐函数”，求实数t的取值范围．
    分析：（1）将f（x）看成关于x的方程，求出x，将x，y互换得到g（x）．
    （2）通过换元，将函数转化为关于t的二次函数，求出对称轴，通过对对称轴与区间位置关系的讨论，求出最小值g（a）．
    （3）据和谐函数的定义，列出方程组，求出p，q满足的条件．
    解答：解：（1）由y=log
    1
    3
    x    得x=(
    1
    3
    )    y
    ∴f-1(x)=(
    1
    3
    )    x    (-1≤x≤1)
     （2）令t=f-1（x），x∈[-1，1]．由（1）知t∈[
    1
    3
    ，3]    ．
    ∴函数y=[f-1（x）]2-2a[f-1（x）]+3=t2-2at+3   (
    1
    3
    ≤t≤3)
    对称轴x=a（a≤3）
    ①a≤
    1
    3
    时，ymin=(
    1
    3
    )    2    -
    2a
    3
    +3=
    28
    9
    -
    2a
    3

    ②
    1
    3
    ＜a≤3    ，ymin=a2-2a2+3=3-a2．
    ∴g(a)=
    28
    9
    - 
    2a
    3
    (a≤
    1
    3
    )
    3-a2(
    1
    3
    ＜a≤3)
    ．
       （3）对（2）中g(a)=
    28
    9
    -
    2a
    3
    (a≤
    1
    3
    )
    3-a2(
    1
    3
    ＜a≤3)
    ，
    易知g（x）在（-∞，3]上单减．
    （3）（I）若g（x）为“和谐函数”，则g（x）在（-∞，3]上存在区间[p，q]（p＜q），使得g（x）在区间[p，q]
    上的值域为[p2，q2]．
    ①若p＜q≤
    1
    3
    ，g（x）递减，
     
    28
    9
    -
    2p
    3
    = q2
    28
    9
    -
    2q
    3
    =p2
    得p+q=
    2
    3
    ，
    这与p＜q≤
    1
    3
    矛盾．
    ②
    1
    3
    ≤p＜q≤3    时
    3-p2=q2
    3-q2=p2
    恒成立

    此时p、q、满足
    p2+q2=3
    1
    3
    ≤p＜q≤3
    ，这样的p，q存在．
    ③p＜
    1
    3
    ，
    1
    3
    ＜q≤3    时，解得p=
    1
    3
    矛盾                     
    ∴（2）中g（x）是“和谐函数”，p、q满足
    p2+q2=3
    1
    3
    ≤p＜q≤3

    （II）∵y=
    		x2-1
    +t    在[1，+∞）递增，有和谐函数的定义知，该函数在定义域[1，+∞）内，存在区间[p，q]（p＜q），使得该函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]
    点评：本题考查新定义题，关键是理解透题中的新定义，此题型是近几年高考常考题型．求分段函数的函数值关键是判断出自变量所属的范围．
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    3
    2
    ax2-(a-3)x+b
    （1）若函数f（x）在P（0，f（0））的切线方程为y=5x+1，求实数a，b的值：
    （2）当a＜3时，令g(x)=
    f′(x)
    x
    ，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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    （1）求出函数y=f（x）的表达式和切线l的方程；
    （2）当x∈[
    1
    e
    ，e]    时（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求实数k的取值范围．

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    x2+a    （a为常数），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．
    （1）求直线l的方程及a的值；
    （2）当k＞0时，试讨论方程f（1+x2）-g（x）=k的解的个数．

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    13
    x3+x2+ax    ．
    （1）讨论f（x）的单调性；
    （2）设f（x）有两个极值点x1，x2，若过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线l与x轴的交点在曲线y=f（x）上，求a的值．

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    32
    ax2+b    ，a，b为实数，x∈R，a∈R．
    （1）当1＜a＜2时，若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
    （2）在（1）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
    （3）试讨论函数F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的极值点的个数．

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