Question

函数y=（sinx+cosx+1）²+sinxcosx（-

π

6

≤x≤

π

2

）的最小值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：利用换元法，设sinx+cosx=t则 2sinxcosx=t²-1，从而将函数转化为t的函数，利用配方法，注意变量的范围，即利用二次函数的性质求得函数的最小值．

解答： 解：设sinx+cosx=t=

2

sin（x+

π

4

），则2sinxcosx=t²-1．
∵-

π

6

≤x≤

π

2

，∴

π

12

≤x+

π

4

≤

3π

4

，∴sin

π

12

≤sin（x+

π

4

）≤sin

π

2

=1，
又 sin

π

12

=

1-cos π 6 2

=

1

2

2- 3

，
∴

2

sin

π

12

≤

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，即

1

2

（

3

-1）≤

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，
∴函数y=（t+1）²+

t2-1

2

=

3

2

t²+2t+

1

2

=

3

2

•(t+

2

3

)2-

1

6

．
再根据函数y=

3

2

•(t+

2

3

)2-

1

6

在[

1

2

（

3

-1），

2

]上是增函数，
故当t=

3 -1

2

时，函数y取得最小值为

4+ 3

4

，
故答案为：

4+ 3

4

．

点评：本题以三角函数为载体，考查函数的最值，考查配方法的运用．换元是关键，别忘了变量范围的变化，属于基础题．