Question

15．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n＞0（n∈N^*），数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+1=$\frac{2}{{{S_{n+1}}+{S_n}-2}}$．
（1）判断数列{（S_n-1）²}是否等差数列或等比数列？试说明理由；
（2）设{b_n}是数列{S_n}中的按从小到大顺序组成的整数数列．
①求b₃；
②存在N（N∈N^*），当n≤N时，使得在{S_n}中，数列{b_n}有且只有20项，求N的范围．

Answer 1

分析 （1）{（S_n-1）²}是等差数列，证明如下：由a_n+1=S_n+1-S_n，可得（S_n+1-S_n）（S_n+1+S_n-2）=2； 化简整理即可证明；
（2）由（1）知：（S_n-1）²=1+2（n-1）=2n-1，可得S_n=1+$\sqrt{2n-1}$．可得：S₁=1+1=2=b₁，S₅=1+3=4=b₂，S₁₃=1+5=6=b₃．由2n-1是奇数，S_n=1+$\sqrt{2n-1}$为有理数，可设n=2k²-2k+1，n递增，又当k=20时，n=761；当k=21时，n=841，即可得出．

解答 解：（1）{（S_n-1）²}是等差数列，证明如下：
∵a_n+1=S_n+1-S_n，∴（S_n+1-S_n）（S_n+1+S_n-2）=2；   
即（S_n+1）²-（S_n）²-2（S_n+1-S_n）=2，
∴（S_n+1-1）²-（S_n-1）²=2，且（S₁-1）²=1，
∴{（S_n-1）²}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知：（S_n-1）²=1+2（n-1）=2n-1，
∵a_n＞0，
∴S_n≥a_n-1，∴S_n=1+$\sqrt{2n-1}$．
①n=1时，S₁=1+1=2=b₁，
n=5时，S₅=1+3=4=b₂，
n=13时，S₁₃=1+5=6=b₃．
②∵2n-1是奇数，S_n=1+$\sqrt{2n-1}$为有理数，则$\sqrt{2n-1}$=2k-1，k∈Z．
∴n=2k²-2k+1，
当k≥1时，n递增，又当k=20时，n=761；当k=21时，n=841；
∴存在N∈[761，840]，当n≤N时，使得在{S_n}中，数列{b_k}有且只有20项．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推式的应用、数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．