Question

如图,过点P(2,1)作直线l,与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.求:

(1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；

(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；

(3)求|PA|·|PB|的最小值及此时直线l的方程.

Answer 1

思路解析：本题的关键是何时取得最值.可以先设出斜率,分别求出|OA|,|OB|,然后再由不等式、判别式或三角变换等有关方法来求.

(1)解法一:设直线l的方程为y-1=k(x-2).

令y=0,得x=;令x=0,得y=1-2k.

∴A、B两点坐标分别为A(,0),B(0,1-2k).

∵A、B是l与x轴、y轴正半轴的交点,

∴

S_△ABC=·|OA|·OB|=··(1-2k)=(4--4k).

由-＞0,-4k＞0,有--4k≥2=4.

当且仅当-=-4k,即k=-时,--4k取最小值4.

∴S_△AOB的最小值为×(4+4)=4.

此时l的方程是y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.

解法二:设l的方程为+=1(a＞0,b＞0).

∵点P(2,1)在l上,∴+=1.

又∵+≥2,∴2≤1.

∴ab≥4.

当且仅当==,即a=4,b=2时,△AOB面积S=ab有最小值4.

此时直线l的方程为+=1.

解法三:由解法一知S=··(1-2k),

整理得4k²+2(S-2)k+1=0.

∵k∈R,∴Δ=4(S-2)²-4×4×1≥0.解得S≥4.

当且仅当S=4时,k=-.

∴△AOB面积的最小值为4.

当△AOB面积最小时,l的方程为y-1=- (x-2),即x+2y-4=0.

解法四:由解法二可知+=1,∴b=.                                ①

△AOB的面积S=·a·b=·a·=,                ②

整理得a²-2aS+4S=0.

∵a∈R,∴Δ=4S²-4×4S≥0,(S＞0).∴S≥4.

将S=4代入②,得a=4;将a=4代入①,得b=2.

∴△AOB面积的最小值为4.

此时直线l的方程为+=1,即x+2y-4=0.

(2)解法一:∵A(,0),B(0,1-2k)(k＜0＝,

∴截距之和为+1-2k=3-2k-=3+(-2k)+(-)≥3+2=3+2.

此时-2k=-,即k=-.故截距之和的最小值为3+2.

此时l的方程为y-1=-(x-2).

解法二:∵+=1(a＞0,b＞0),

∴a+b=(a+b)(+)=2+1++=3++≥3+2=3+2.

此时=,即2b²=a².求得b=+1,a=2+.

故截距之和的最小值为3+2.

∴此时直线l的方程为+=1,即y-1=-(x-2).

轻轻告诉你  行不义的人比遭受这个不义行为的人更不幸。——德谟克利特

(3)解法一:∵A(2-,0),B(0,1-2k)(k＜0),

∴|PA|·|PB|=·=2［+(-k)］≥4.

当且仅当-k=-,即k=-1时上式等号成立.

故|PA|·|PB|的最小值为4.此时直线l的方程为x+y-3=0.

解法二:∵|PA|=,|PB|=,

∴|PA|·|PB|==.

当θ=45°时,直线l的斜率为-1,此时|PA|·|PB|有最小值4,直线l的方程为x+y-3=0.

深化升华

    以上三个小题的各种方法概括起来就是利用直线的斜率、截距及角θ作为参变量,利用均值不等式或判别式法求最值.一般来说,总是把所求的问题,如面积、截距之和、距离之积归结为关于斜率k、角θ或截距的表达式,再去解决问题.这也是解析几何中常用的代数手段.尤其是利用不等式求最值,今后会常遇到.