Question

【题目】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．

（1）求证：直线BD1∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设AC和BD交于点O，连接PO，

∵P，O分别是DD1，BD的中点，∴PO∥BD1，

又∵BD1面PAC，PO面PAC，

∴BD1∥面PAC

（2）证明：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，

∴底面ABCD是正方形，则AC⊥BD．

∵DD1⊥面ABCD，∴DD1⊥AC，

∴AC⊥面BDD1，

∵AC平面PAC，

∴平面PAC⊥平面BDD1

【解析】（1）设AC和BD交于点O，连接PO，由P，O分别是DD1 ， BD的中点，知PO∥BD1 ， 由此能够证明BD1∥面PAC．（2）由题设条件推导出AC⊥面BDD1 ， 由此能够证明平面PAC⊥平面BDD1 ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对平面与平面垂直的判定的理解，了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．