Question

8．设集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|（x-1）（x-a+1）=0}，C={x|x²-mx+2=0}，若A∪B=A，A∩C=C．
（Ⅰ）求实数a的取值集合；
（Ⅱ）求实数m的取值集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，由已知得A={1，2}，B={x|（x-1）（x-a+1）=0}，再由A∪B=A，知B⊆A，显见B≠∅，对B分情况讨论可得答案，
（Ⅱ）由A∩C=C得C⊆A，对C分是空集、单元素集合、双元素集合三种情况讨论，易得答案．

解答 解：（Ⅰ）由已知得A={1，2}，B={x|（x-1）（x-a+1）=0}，
由A∪B=A，知B⊆A
显见B中至少有一个元素1，即B≠∅，
当B为单元素集合时，只需a=2，此时B={1}满足题意．
当B为双元素集合时，只需a=3，此时B={1，2}也满足题意
所以，a=2或a=3，故a的取值集合为{2，3}
（Ⅱ）由A∩C=C得C⊆A
当C是空集时，△=m²-8＜0，∴-2$\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$
当C为单元素集合时，△=0，m=±2$\sqrt{2}$，此时C={$\sqrt{2}$}或C={-$\sqrt{2}$}，不满足题意
当C为双元素集合时，C只能为{1，2}，此时m=3
综上m的取值集合为{m|m=3或-2$\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$}．

点评 本题考查集合间的相互包含关系及运算，应注意集合的子集情况，特别是空集．