Question

4．求下列函数的定义域和值域．
（1）y=$\sqrt{1-{2}^{x}}$；
（2）y=2${\;}^{\frac{1}{x-1}}$．

Answer 1

分析 （1）使原函数有意义，则1-2^x≥0，这样即可得到该函数的定义域，而根据0≤1-2^x＜1即可求出该函数的值域；
（2）显然定义域为{x|x≠1}，然后根据$\frac{1}{x-1}≠0$即可得出y＞0，且y≠1，这样便得出了原函数的值域．

解答 解：（1）解1-2^x≥0得，x≤0；
∴该函数的定义域为（-∞，0]；
∵0≤1-2^x＜1；
∴该函数的值域为[0，1）；
（2）定义域为{x|x≠1}；
$\frac{1}{x-1}≠0$；
∴${2}^{\frac{1}{x-1}}＞0$，且${2}^{\frac{1}{x-1}}≠1$；
∴原函数的值域为（0，1）∪（1，+∞）．

点评 考查函数定义域、值域的概念，及求法，指数函数的单调性及值域．