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(本小题满分12分)

    已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值.

   (Ⅰ)求实数a的值;

   (Ⅱ)若关于x的方程f(x)=-x+b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围;

   (Ⅲ)证明:对任意的正整数n,不等式ln<都成立.

 

【答案】

 

(1)   a=1

(2)   ln3 -1≤b<ln2 +

(3)   略

【解析】解:(Ⅰ)  =  ,∵x=0时,f(x)取得极值,∴=0,

=0,解得a=1.经检验a=1符合题意. ……………4分

(Ⅱ)由,由,得

,令,

则f(x)= +b在[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0,2]恰有两个不同实数根.

 

当x∈(O,1)时,,于是在(O,1)上单调递增;

当x∈(1,2)时,,于是在(1,2)上单调递减.

依题意有

 ∴ln3 -1≤b<ln2 +.………………………………………8分

(Ⅲ) 的定义域为{x|x> -1},

 由(Ⅰ)知, 令=0得,x=0或x= (舍去),

 ∴当-1<x<0时,>0,f(x)单调递增; 当x>0时,<0,f(x)单调递减.

∴f(0)为f(x)在(-1,+∞)上的最大值.

∴f(x)≤ f(0),故ln(x+1)-x2-x≤0(当且仅当x=0时,等号成立).

对任意正整数n,取x=>0得,ln(+1)< +

故ln()<.……………………………………12分

 

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3
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设平面直角坐标中,O为原点,N为动点,|
ON
|=6,
ON
=
5
OM
.过点M作MM1丄y轴于M1,过N作NN1⊥x轴于点N1
OT
=
M1M
+
N1N
,记点T的轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程:
(H)已知直线L与双曲线C:5x2-y2=36的右支相交于P、Q两点(其中点P在第-象限).线段OP交轨迹C于A,若
OP
=3
OA
,S△PAQ=-26tan∠PAQ求直线L的方程.

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(I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率;    w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(II)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.

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