Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
（1）若点B的横坐标为，求tanα的值；
（2）若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
（3）若，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式，并指出函数的值域．

Answer 1

解：（1）由题意可得B（，），根据三角函数的定义得：tanα==-；
（2）若△AOB为等边三角形，则B（，）或（，）
可得tan∠AOB==或，故∠AOB=，或；
故与角α终边相同的角β的集合为：{β|β=，k∈Z}∪{β|β=，k∈Z}；
（3）若，则S_扇形=αr²=，而S_△AOB=×1×1×sinα=sinα，
故弓形的面积S=S_扇形-S_△AOB=-sinα，，
求导数可得S′==（1-cosα）＞0，故S在区间上单调递增，
S（0）=0，S（）=，
故函数的值域为：[0，]
分析：（1）由题意可得B（，），根据三角函数的定义得；
（2）同理可得B的坐标，注意两种情况，然后由三角函数的定义可得；
（3）把弓形转化为扇形和三角形的面积之差，由导数可得函数的单调性，进而可得值域．
点评：本题考查三角函数的定义和扇形的面积公式，属基础题．