Question

11．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CD的中点，则（　　）

• A． A₁E⊥DC₁
• B． A₁E⊥BD
• C． A₁E⊥BC₁
• D． A₁E⊥AC

Answer 1

分析 法一：连B₁C，推导出BC₁⊥B₁C，A₁B₁⊥BC₁，从而BC₁⊥平面A₁ECB₁，由此得到A₁E⊥BC₁．
法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．

解答 解：法一：连B₁C，由题意得BC₁⊥B₁C，
∵A₁B₁⊥平面B₁BCC₁，且BC₁?平面B₁BCC₁，
∴A₁B₁⊥BC₁，
∵A₁B₁∩B₁C=B₁，
∴BC₁⊥平面A₁ECB₁，
∵A₁E?平面A₁ECB₁，
∴A₁E⊥BC₁．
故选：C．
法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则A₁（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C₁（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-2，1，-2），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，2），$\overrightarrow{BD}$=（-2，-2，0），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}E}$•$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=-2，$\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{BD}$=2，$\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0，$\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{AC}$=6，
∴A₁E⊥BC₁．
故选：C．

点评 本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．