Question

16．设数列{a_n}满足a₁+3a₂+…+（2n-1）a_n=2n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推关系即可得出．
（2）$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$．利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（1）数列{a_n}满足a₁+3a₂+…+（2n-1）a_n=2n．
n≥2时，a₁+3a₂+…+（2n-3）a_n-1=2（n-1）．
∴（2n-1）a_n=2．∴a_n=$\frac{2}{2n-1}$．
当n=1时，a₁=2，上式也成立．
∴a_n=$\frac{2}{2n-1}$．
（2）$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$．
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{2n+1}$}的前n项和=$（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．