【题目】已知椭圆的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的
与直线
相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过定点斜率为
的直线与椭圆
交于
两点,若
,求斜率
的值;
(Ⅲ)若(Ⅱ)中的直线与
交于
两点,设点
在
上,试探究使
的面积为
的点
共有几个?证明你的结论.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和直线和圆相切的条件,结合的关系,解方程可得
,进而得到椭圆方程;(Ⅱ)设直线
方程为
,代入椭圆方程,运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示,解方程可得斜率
;(Ⅲ)求得圆心到直线的距离,圆的弦长
,由三角形的面积公式可得
到
的距离,结合半径与圆心到直线的距离之差的关系,即可判断
的个数.
试题解析:(Ⅰ)原点到直线
的距离
.
所以,椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)将直线与椭圆
联立,消去
,整理得
,由韦达定理得
.
.
.
令,得
.
(Ⅲ)由(2)知,直线的方程为
或
.
原点到直线
的距离
,
弦长
.
若上存在点
使
的面积为
,则点
到直线
的距离
.
当直线
的斜率
时,有4个点
使
面积为
;当直线
的斜率
时,有4个点
使
面积为
.
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式,属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在轴上,还是在
轴上,还是两个坐标轴都有可能;②设方程:根据上述判断设方程
或
;③找关系:根据已知条件,建立关于
、
、
的方程组;④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给出下列四个命题:
①“若为
的极值点,则
”的逆命题为真命题;
②“平面向量的夹角是钝角”的充分不必要条件是
③若命题,则
④函数在点
处的切线方程为
.
其中不正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下的资料:
该兴趣小组确定的研究方案是:现从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选用的2组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率;
(2)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月的数据,求出关于
的线性回归方程
;
(3)若有线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问(2)中所得线性回归方程是否是理想?
参考公式:
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直线l1的方程为3x+4y﹣12=0.
(1)若直线l2与l1平行,且过点(﹣1,3),求直线l2的方程;
(2)若直线l2与l1垂直,且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4,求直线l2的方程.
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