Question

从北京(靠近北纬40°、东经120°,以下经纬度均取近似值)飞往南非首都约翰内斯堡(南纬30°、东经30°),有两条航空线可供选择:

甲航空线:从北京沿纬度弧向西飞到士耳其首都安卡拉(北纬40°、东经30°),然后向南飞到目的地.

乙航空线:从北京向南飞到澳大利亚的珀斯(南纬30°、东经120°),然后向西飞到目的地.

请问:哪一条航空线较短?(地球视为半径R=6 370 km的球)

Answer 1

解析:设球心为O,O₁、O₂分别是北纬40°圆与南纬30°圆的圆心,则∠AO₁C=∠DO₂B=120°-30°=90°,

从而=·O₁C=Rcos40°,

=·O₂B= Rcos30°=πR,

=R·∠COB=R(40+30)·πR,

=R·∠AOD=R(40+30)·πR.

故甲航程为s₁=+=Rcos40°+πR,

乙航程为s₂=+=πR+πR.

由cos40°＜cos30°,知s₁＜s₂,所以甲航空线较短.

小结：把北京、约翰内斯堡、安卡拉、珀斯分别看作球面上的A、B、C、D四点(如上图),则甲航程为A、C两地间的纬度线长与C、B两地间的球面距离之和,乙航程是A、D两地间的球面距离加上D、B两地间的纬度线长.