Question

已知函数f（x）=ln

sinx+cosx

sinx-cosx

．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）猜测f（x）的周期并证明；
（3）写出f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）求出函数f（ x） 的定义域关于原点对称，再由f（-x）=-f（ x），可得函数f（ x）为奇函数．
（2）由于tanx的周期等于π，故f（x）的周期等于π，证明根据f（π+x）=f（ x）．
（3）f（x）的单调递减区间即函数t=

tanx+1

tanx-1

=1+

2

tanx-1

的减区间，即tanx＜-1 或tanx＞1 时的增区间，由此求得f（x）的单调递减区间．

解答：解：（1）由

sinx+cosx

sinx-cosx

=

tanx+1

tanx-1

＞0，可得 tanx＜-1 或tanx＞1，cosx=0．
∴x＞kπ+

π

4

，或x＜kπ-

π

4

，或 x=2kπ±

π

2

，k∈z，
故函数的定义域为（kπ+

π

4

，kπ+

π

2

）∪（ kπ-

π

2

，kπ-

π

4

 ），或x=2kπ±

π

2

，k∈z，故定义域关于原点对称．
∵f（ x）=ln

tanx+1

tanx-1

，∴f（-x）=ln 

-tanx+1

-tanx-1

=ln 

tanx -1

1+ tanx

=-ln

tanx+1

tanx-1

=-f（ x），
故函数f（ x）为奇函数．
（2）由于tanx的周期等于π，故f（x）的周期等于π，证明如下：
∵f（π+x）=ln

tan(π+x) +1

tan(π+x) -1

=ln 

tanx+1

tanx-1

=f（ x），故函数f（ x）的周期等于π．
（3）f（x）的单调递减区间即函数t=

tanx+1

tanx-1

=1+

2

tanx-1

的减区间，即tanx＜-1 或tanx＞1 时的增区间，
故f（x）的单调递减区间为（kπ+

π

4

，kπ+

π

2

），（ kπ-

π

2

，kπ-

π

4

 ）．

点评：本题考查三角函数的周期性、奇偶性和单调性，化简函数f（ x） 的解析式为 ln

tanx+1

tanx-1

，是解题的关键．