(理)已知三个互不相等的正数a,b,c成等比数列,公比为q.在a,b之间和b,c之间共插入n个数,使这n+3个数构成等差数列.
(1)若a=1,在b,c之间插入一个数,求q的值;
(2)设a<b<c,n=4,问在a,b之间和b,c之间各插入几个数,请说明理由;
(3)若插入的n个数中,有s个位于a,b之间,t个位于b,c之间,试比较s与t的大小.
【答案】
分析:(1)若a=1,设由4个数构成的等差数列的公差为d,则
,消去d,求得q的值.
(2)设所构成的等差数列的公差为d,由题意,d>0,共插入4个数.若在a,b之间插入1个数,在b,c之间插入3个数,求得q的值;若在a,b之间插入3个数,在b,c之间插入1个数,求得q的值;若a,b之间和b,c之间各插入2个数,求得q的值,综合可得结论.
(3)设所构成的等差数列的公差为d,由题意可得
,因为q≠1,所以
,分q>1和 0<q<1两种情况,分别得出结论.
解答:解:(1)若a=1,因为a,b,c是互不相等的正数,所以q>0且q≠1.
由已知,a,b,c是首项为1,公比为q的等比数列,则b=q,c=q
2,
当插入的一个数位于b,c之间,设由4个数构成的等差数列的公差为d,则
,消去d得2q
2-3q+2=0,
因为q≠1,所以q=2.
(2)设所构成的等差数列的公差为d,由题意,d>0,共插入4个数.
若在a,b之间插入1个数,在b,c之间插入3个数,则
,
于是
,2b-2a=c-b,q
2-3q+2=0,解得q=2.
若在a,b之间插入3个数,在b,c之间插入1个数,则
,
于是
,2c-2b=b-a,解得
(不合题意,舍去).
若a,b之间和b,c之间各插入2个数,则
,b-a=c-b,解得q=1(不合题意,舍去),
综上,a,b之间插入1个数,在b,c之间插入3个数.
(3)设所构成的等差数列的公差为d,
由题意可得,b=a+(s+1)d,
,又c=b+(t+1)d,
,
所以,
,即
,因为q≠1,所以
.
所以,当q>1,即a<b<c时,s<t;当0<q<1,即a>b>c时,s>t.
点评:本题主要考查等差数列的定义、性质以及通项公式,等比数列的定义、性质以及通项公式的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.