Question

（2013•韶关二模）已知各项均为正数的等比数列{a_n}的首项a₁=2，S_n为其前n项和，若5S₁，S₃，3S₂成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，cn=

1

bnbn+1

，记数列{c_n}的前n项和T_n．若对?n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由 5S₁，S₃，3S₂成等差数列，依题意，可化简求得q=2，首项a₁=2，从而可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）依题意，可求得c_n=

1

n

-

1

n+1

，从而可得T_n=

n

n+1

，由

n

n+1

≤k（n+4）可求得k≥

1

n+ 4 n +5

，利用基本不等式即可求得k的取值范围．

解答：解：（1）∵5S₁，S₃，3S₂成等差数列，
∴2S₃=5S₁+3S₂…（1分）
即2（a₁+a₁q+a₁q²）=5a₁+3（a₁+a₁q），
化简得 2q²-q-6=0…（2分）
解得：q=2或q=-

3

2

…（3分）
因为数列{a_n}的各项均为正数，所以q=-

3

2

不合题意…（4分）
所以{a_n}的通项公式为：a_n=2ⁿ．…（5分）
（2）由b_n=log₂a_n得b_n=log22n=n…（6分）
∴c_n=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…（7分）
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

…（8分）
∵

n

n+1

≤k（n+4）
∴k≥

n

(n+1)(n+4)

=

n

n2+5n+4

…（9分）
=

1

n+ 4 n +5

…-（11分）
∵n+

4

n

+5≥2

n• 4 n

+5=9，当且仅当n=

4

n

，即n=2时等号成立------（12分）
∴

1

n+ 4 n +5

≤

1

9

 …（13分）
∴k的取值范围[

1

9

，+∞）．…（14分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的通项公式，考查裂项法求和与基本不等式的综合应用，属于难题．