Question

设f（x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（

π

6

）|对一切x∈R恒成立，则
①f（

11π

12

）=0．
②|f（

7π

10

）|＜|f（

π

5

）|．
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
④f（x）的单调递增区间是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
以上结论正确的是

①③

（写出正确结论的编号）．

Answer 1

分析：由f（x）≤|f（

π

6

）|可知x=

π

6

是函数f（x）的对称轴，然后根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．

解答：解：则f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin(2x+θ)，其中cos?θ=

a

a2+b2

，sin?θ=

b

a2+b2

，
若f（x）≤|f（

π

6

）|可知x=

π

6

是函数f（x）的对称轴，
∴2×

π

6

+θ=

π

2

+kπ，则θ=

π

6

+kπ，k∈Z，
∴f(x)=

a2+b2

sin?(2x+

π

6

+kπ)=±

a2+b2

sin?(2x+

π

6

)，
①f（

11π

12

）=±

a2+b2

sin?(2×

11π

12

+

π

6

)=±

a2+b2

sin?2π=0，成立．
②|f（

7π

10

）|=|±

a2+b2

sin?(2×

7π

10

+

π

6

)|=

a2+b2

|sin?(

7π

5

+

π

6

)|═

a2+b2

|sin?(

2π

5

+

π

6

)|
|f（

π

5

）|=|±

a2+b2

sin?(2×

π

5

+

π

6

)|=

a2+b2

|sin?(

2π

5

+

π

6

)|，
∴|f（

7π

10

）|=|f（

π

5

）|，∴②错误．
③由函数表达式可知f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数，∴③正确．
④∵f(x)=

a2+b2

sin?(2x+

π

6

+kπ)=±

a2+b2

sin?(2x+

π

6

)，表达式不确定，
∴函数的单调递增区间不确定，∴④错误．
故答案为：①③．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．