Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）
（Ⅰ）若a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求m的范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在[-1，1]内没有极值点，求a的范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈{3，6}，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）运用分离参数，得到m=-x³-x²+x有三个互不相同的实数根．令g（x）=-x³-x²+x，求出极值，只要m介于极大和极小之间即可；
（Ⅱ）原问题等价为方程f′（x）=3x²+2ax-a²=0在[-1，1]上没有实数根，运用二次方程实根分布的知识，即可得到；
（Ⅲ）原问题转化为对任意的a∈{3，6}，不等式f（x）_max≤1在x∈[-2，2]上成立，运用导数求出f（x）在[-2，2]上的最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时f（x）=x³+x²-x+m，
∵f（x）有三个互不相同的零点，所以f（x）=x³+x²-x+m，
即m=-x³-x²+x有三个互不相同的实数根．
令g（x）=-x³-x²+x，则g′（x）=-3x²-2x+1=（x+1）（-3x+1）．
∵g（x）在（-∞，-1）和（

1

3

，+∞）均为减函数，在（-1，

1

3

）为增函数，
则g（-1）为极小值且为-1，g（

1

3

）为极大且为

5

27

．
∴m的取值范围（-1，

5

27

）；
（Ⅱ）由题可知，函数f（x）在[-1，1]内没有极值点等价为
方程f′（x）=3x²+2ax-a²=0在[-1，1]上没有实数根，
∵

f′(1)=3+2a-a2≤0 f′(-1)=3-2a-a2≤0 a＞0

，∴a≥3；
（Ⅲ）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-

a

3

）（x+a），且a＞0，
∴函数f（x）的递减区间为（-a，

a

3

），递增区间为（-∞，-a）和（

a

3

，+∞）；
当a∈[3，6]时，

a

3

∈[1，2]，-a≤-3，又x∈[-2，2]，
∴f（x）_max=max{f（-2），f（2）}而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0，
∴f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m，
又∵f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，
∴f（x）_max≤1，即-8+4a+2a²+m≤1即m≤9-4a-2a²在a∈[3，6]恒成立．
∵9-4a-2a²的最小值为-87，
∴m≤-87．

点评：本题考查导数在函数中的综合应用：求单调区间、求最值，考查二次方程实根的分布，以及不等式恒成立问题，转化为求最值问题，属于中档题．