Question

已知函数f（x）=alnx-x+

1

x

，g（x）=x²+x-b，y=f（x）图象恒过定点P，且P点既在y=g（x）图象上，又在y=f（x）的导函数的图象上．
（1）求a，b的值；
（2）设h（x）=

f(x)

g(x)

，求证：当x＞0且x≠1时，h（x）＜0．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）当x=1时，f（1）=0，所以P（1，0），分别代入f′（x），g（x）求得a，b；
（2）由（1），f′（x）=

2

x

-1-

1

x2

=-

(x-1)2

x2

，g（x）=x²+x-2，分x∈（0，1）时，x∈（1，+∞）时，分别讨论f（x），g（x）的正负，得出h（x）＜0．

解答： 解：（1）f′（x）=

a

x

-1-

1

x2

，
当x=1时，f（1）=0，∴P（1，0），
代入f′（x）=

a

x

-1-

1

x2

，得a=2，
代入g（x）=x²+x-b，b=2，
（2）由（1），f′（x）=

2

x

-1-

1

x2

=-

(x-1)2

x2

，
g（x）=x²+x-2，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减，f（x）＞f（1）=0，
易知g（x）＜0，故h（x）＜0．
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减，f（x）＜f（1）=0，
易知g（x）＞0，故h（x）＜0．
综上所述，当x＞0且x≠1时，h（x）＜0．

点评：本题考查单调性与导数故选的应用，函数与不等式的综合，分类讨论的思想和能力．