Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱CC₁的中点，Q是棱A₁D₁的中点，R是棱CD的中点，C₁Q与B₁D₁交于点E．
（Ⅰ）求证：C₁Q∥面APD₁；
（Ⅱ）求证：B₁R⊥面APD₁；
（Ⅲ）求三棱锥E-APD₁的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AD₁的中点F，连接FQ，FP，证明PC₁QF是平行四边形，可得C₁Q∥PF，即可证明C₁Q∥面APD₁；
（Ⅱ）证明B₁R⊥AD₁，B₁R⊥D₁P，即可证明B₁R⊥面APD₁；
（Ⅲ）证明点E到平面APD₁的距离等于C₁到平面APD₁的距离，利用VE-APD1=VC1-APD1=VA-PC1D1求三棱锥E-APD₁的体积．

解答： （Ⅰ）证明：取AD₁的中点F，连接FQ，FP，则FQ平行且等于

1

2

A1A，平行且等于C₁P，
∴PC₁QF是平行四边形，
∴C₁Q∥PF，
∵C₁Q?面APD₁，PF?面APD₁，
∴C₁Q∥面APD₁；
（Ⅱ）证明：连接A₁D，C₁R，则
由正方体的性质可知，B₁R在面AA₁D₁D中的射影为A₁D，B₁R在面CC₁D₁D中的射影为C₁R
∵A₁D⊥AD₁，C₁R⊥D₁P
∴B₁R⊥AD₁，B₁R⊥D₁P，
∵AD₁∩D₁P=D₁，
∴B₁R⊥面APD₁；
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知C₁Q∥面APD₁，
∴点E到平面APD₁的距离等于C₁到平面APD₁的距离，
∴VE-APD1=VC1-APD1=VA-PC1D1=

1

3

S△PC1D1•AD=

1

12

．

点评：本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，考查锥体体积的计算，属于中档题．．