Question

已知

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），且f（x）=

a

•

b

，
（1）求f（x）在x∈[-

π

3

，

π

3

]的最大值；
（2）若f（x）=1-

3

，x∈[-

π

3

，

π

3

]，求x；
（3）函数f（x）的图象可以由函数y=2sin2x的图象经过怎样的变换得出？

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=

a

•

b

=2sin(2x+

π

6

)+1，由x∈[-

π

3

，

π

3

]，可得(2x+

π

6

)∈[-

π

2

，

5π

6

].sin(2x+

π

6

)∈[-1，1]．即可得出f（x）取得最大值．
（2）由（1）可得：2sin(2x+

π

6

)+1=1-

3

，化为sin(2x+

π

6

)=-

3

2

，再利用正弦函数的单调性即可得出．
（3）由函数y=2sin2x的图象向左平移

π

12

个单位可得y=2sin(2x+

π

6

)的图象，在向上平移一个单位可得：f（x）=2sin(2x+

π

6

)+1图象．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=2cos2x+

3

sin2x=cos2x+1+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1，
∵x∈[-

π

3

，

π

3

]，
∴(2x+

π

6

)∈[-

π

2

，

5π

6

]．
∴sin(2x+

π

6

)∈[-1，1]．
∴当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，sin(2x+

π

6

)取得最大值1，f（x）取得最大值3．
（2）由（1）可得：2sin(2x+

π

6

)+1=1-

3

，
解得sin(2x+

π

6

)=-

3

2

，
又(2x+

π

6

)∈[-

π

2

，

5π

6

]．
∴2x+

π

6

=-

π

3

，解得x=-

π

4

．
（3）由函数y=2sin2x的图象向左平移

π

12

个单位可得y=2sin(2x+

π

6

)的图象，在向上平移一个单位可得：f（x）=2sin(2x+

π

6

)+1图象．

点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的图象与性质、三角函数的图象变换，考查了推理能力和计算能力，属于难题．