Question

已知平面向量

m

=（

3

sinx，cosx），

n

=（cosx，cosx），

p

=（2

3

，1）．
（Ⅰ）若

m

∥

p

，求sin2x的值；
（Ⅱ）设f（x）=

m

•

n

，求f（x）的最小正周期；
（Ⅲ）设f（x）=

m

•

n

，△ABC三边满足b²=ac且b所对角θ的取值集合为M，当x∈M时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量共线（平行）的坐标表示

专题：平面向量及应用

分析：（I）利用向量共线定理可得：

3

sinx=2

3

cosx，化为tanx=

3

．因此sin2x=2sinxcosx=

2tanx

1+tan2x

．
（II）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=

m

•

n

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，即可得出f（x）的最小正周期为T．
（III）由余弦定理可得：cosθ=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

，再利用基本不等式可得cosθ≥

1

2

，可得θ∈(0，

π

3

]，x∈(0，

π

3

]，

π

6

＜2x+

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，即可得出函数f（x）的值域．

解答： 解：（I）∵

m

∥

p

，
∴

3

sinx=2

3

cosx，
∴tanx=

3

．
∴sin2x=2sinxcosx=

2sinxcosx

sin2x+cos2x

=

2tanx

1+tan2x

=

4

5

．
（II）f（x）=

m

•

n

=

3

sinxcosx+cos2x=

3

2

sin2x+

cos2x+1

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．
（III）由余弦定理可得：cosθ=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

ac

2ac

=

1

2

，当且仅当a=b=c时取等号．
∴θ∈(0，

π

3

]，∴x∈(0，

π

3

]，

π

6

＜2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴1≤f(x)≤

3

2

．

点评：本题综合考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质、余弦定理、基本不等式的性质、向量共线定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．