Question

设函数f（x）=x²-x+alnx，其中a≠0．
（1）a=-6，求函数f（x）在[1，4]上的最值；
（2）设函数f（x）既有极大值，又有极小值，求实数a的取值范围；
（3）求证：当n∈N^*时，e n(n2-1)≥（n!）³．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，确定函数f（x）在[1，4]上的单调性，即可求函数f（x）在[1，4]上的最值；
（2）函数f（x）既有极大值，又有极小值，f′（x）=

2x2-x+a

x

=0在（0，+∞）内有两个不等实根，可得2x²-x+a=0在（0，+∞）内有两个不等实根，即可求实数a的取值范围；
（3）求出f（x）_min=f（1）=0，可得k²-k≥lnk，即（1²+2²+…+n²）-（1+2+…+n）≥lnn!，即可证明结论．

解答： （1）解：a=-6，f（x）=x²-x+alnx，
∴f′（x）=

(2x+3)(x-2)

x

，x＞0
∴x∈[1，2]，f′（x）≤0，x∈[2，4]，f′（x）≥0，
∴f（x）_min=f（2）=2-6ln2，f（x）_max=max{f（1），f（4）}，
∵f（1）=0，f（4）=12-12ln2＞0，
∴f（x）_max=12-12ln2；
（2）解：∵函数f（x）既有极大值，又有极小值，
∴f′（x）=

2x2-x+a

x

=0在（0，+∞）内有两个不等实根，
∴2x²-x+a=0在（0，+∞）内有两个不等实根，
令g（x）=2x²-x+a，则

△=1-8a＞0 g(0)=a＞0

，解得0＜a＜

1

8

，
（3）证明：a=-1时，f（x）=x²-x-lnx，
∴f′（x）=

(2x+1)(x-1)

x

≥0恒成立，
∴f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴f（x）_min=f（1）=0，
∴x²-x≥lnx（x=1时取等号），
则k²-k≥lnk，
∴（1²+2²+…+n²）-（1+2+…+n）≥lnn!，
∴

n(n+1)(2n+1)

6

-

n(n+1)

2

≥lnn!，
∴

n(n2-1)

3

）≥lnn!，
∴e n(n2-1)≥（n!）³．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值与最值，考查不等式的证明，难度中等．