Question

在极坐标系中，曲线C₁：

2

ρcos（θ+

π

4

）=1，设C₁与极轴的交点为P．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C₂的参数方程为

x= 2 cosϕ y=sinϕ

（ϕ为参数）．
（Ⅰ）求点P的直角坐标，并把曲线C₂化成普通方程；
（Ⅱ）若动直线l过点P，且与曲线C₂交于两个不同的点A，B，求

1

|PA|

+

1

|PB|

的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）首先把曲线C₁的极坐标方程

2

ρcos（θ+

π

4

）=1化为普通方程，令y=0，可得x=1，求出点P的直角坐标；然后根据消去参数ϕ，把曲线C₂的参数方程化为普通方程即可；
（Ⅱ）设动直线l的方程为y=k（x-1），A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），代入椭圆的方程，可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，求出x₁+x₂以及x₁x₂的值，进而求出

1

|PA|

+

1

|PB|

的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）把曲线C₁的极坐标方程

2

ρcos（θ+

π

4

）=1化为普通方程，
可得x-y-1=0，
令y=0，可得x=1，
即点P的直角坐标为（1，0）；
曲线C₂的参数方程为

x= 2 cosϕ y=sinϕ

（ϕ为参数），
利用同角三角函数的基本关系，消去φ，
可得C₂的普通方程为：

x2

2

+y2=1…①；
（Ⅱ）设动直线l的方程为y=k（x-1）…②，A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），
②代入①，可得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
则x₁+x₂=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

，x1，x2∈[-

2

，

2

]，
所以

1

|PA|

+

1

|PB|

=

1

(x1-1)2+1- x12 2

+

1

(x2-1)2+ x22 2

=

2

2-x1

+

2

2-x2

=

2•

4-(x1+x2)

4-2(x1+x2)+x1x2

=

2

•

4- 4k2 2k2+1

4- 8k2 2k2+1 + 2k2-2 2k2+1

=

2

•

4k2+4

2k2+2

=2

2

点评：本题主要考查了把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．