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    已知离心率分别为e1、e2的椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）和双曲线C2：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1的两个公共顶点为A、B，若P、Q分别为双曲线C2和椭圆C1上不同于A、B的动点，且满足
    AP
    +
    BP
    =λ（
    AQ
    +
    BQ
    ）（λ∈R，|λ|＞1）．如果直线AP、BP、AQ、BQ的斜率依次记为k1、k2、k3、k4．
    （1）求证：e12+e22=2；
    （2）求证：k1+k2+k3+k4=0；
    （3）设F1、F2分别为椭圆C1和双曲线C2的右焦点，若PF2∥QF1，求k12+k22+k32+k42的值．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（1）由已知得e1=
    c
    a
    =
    		a2-b2
    a
    ，e2=
    c′
    a
    =
    		a2+b2
    a
    ，由此能证明e12+e22=2．
    （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），x12-a2=
    a2
    b2
    y12    ，k1+k2=
    y1
    x1+a
    +
    y1
    x1-a
    =
    2b2
    a2
    ×
    x1
    y1
    ，k3+k4=
    y2
    x2+a
    +
    y2
    x2-a
    =-
    2b2
    a2
    ×
    x2
    y2
    ，由此能证明k1+k2+k3+k4=0．
    （3）由①得(k1+k2)2=
    4b4
    a4
    ×
    a4
    b4
    =4，由（2）得k3+k4=-（k1+k2），(k3+k4)2=4，k1k2=
    b2
    a2
    ，k3k4=
    y2
    x2+a
    ×
    y2
    x1-a
    =-
    b2
    a2
    ，由此能求出k12+k22+k32+k42的值．
    解答： （1）证明：∵离心率分别为e1、e2的椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）和双曲线C2：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1，
    ∴由已知得e1=
    c
    a
    =
    		a2-b2
    a
    ，e2=
    c′
    a
    =
    		a2+b2
    a
    ，
    ∴e12+e22=
    a2-b2
    a2
    +
    a2+b2
    a2
    =2．
    （2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
    ∵
    x12
    a2
    -
    y12
    b2
    =1    ，∴x12-a2=
    a2
    b2
    y12    ，
    k1+k2=
    y1
    x1+a
    +
    y1
    x1-a
    =
    2x1y1
    x12-a2
    =
    2b2
    a2
    ×
    x1
    y1
    ，①
    ∵
    x22
    a2
    +
    y22
    b2
    =1    ，∴x22-a2=-
    a2
    b2
    y22    ，
    ∴k3+k4=
    y2
    x2+a
    +
    y2
    x2-a
    =
    2x2y2
    x22-a2
    =-
    2b2
    a2
    ×
    x2
    y2
    ，②
    ∵
    OP
    =λ
    OQ
    ，∴O、P、Q三点共线，
    ∴
    x1
    y1
    =
    x2
    y2
    ，
    ∴由①②得k1+k2+k3+k4=0，
    （3）解：
    x12
    a2
    +
    y12
    b2
    =λ2    与
    x12
    a2
    -
    y12
    b2
    =1    联立，
    得x12=
    λ2+1
    2
    a2    ，y12=
    λ2-1
    2
    b2    ，
    ∵PF2∥QF1，λ＞1，∴|OF2|=λ|OF1|，
    ∴λ2=
    a2+b2
    a2-b2
    ，∴
    x12
    y12
    =
    (λ2+1)a2
    (λ2-1)b2
    =
    a4
    b4
    ，
    由①得(k1+k2)2=
    4b4
    a4
    ×
    a4
    b4
    =4，
    由（2）得k3+k4=-（k1+k2），∴(k3+k4)2=4，
    又∵k1k2=
    y1
    x1+a
    ×
    y1
    x1-a
    =
    y12
    x12-a2
    =
    b2
    a2
    ，
    k3k4=
    y2
    x2+a
    ×
    y2
    x1-a
    =
    y22
    x22-a2
    =-
    b2
    a2
    ，
    ∴k12+k22+k32+k42
    =（k1+k2）2+(k3+k4)2-2(k1k2+k3k4)=4+4-0=8．
    点评：本题考查e12+e22=2的证明，考查k1+k2+k3+k4=0的证明，考查k12+k22+k32+k42的值的求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．
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    1
    x
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    1
    x
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    x-p
    ＞
    f(x)-f(p)
    x-q
    ．

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    1
    2
    x-1）+1
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知
    a
    =（2cosx，1），
    b
    =（cosx，
    		3
    sin2x），且f（x）=
    a
    •
    b
    ，
    （1）求f（x）在x∈[-
    π
    3
    ，
    π
    3
    ]的最大值；
    （2）若f（x）=1-
    		3
    ，x∈[-
    π
    3
    ，
    π
    3
    ]，求x；
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    x
    y
    ）=f（x）-f（y），若f（4）=2，求f（x）在[1，16]上的值域．

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