Question

已知函数f（x）=lnx+a（x-1）²，其中a为常数．
（1）若f（x）在x=2处有极值，求a的值，并说明该极值是极大值还是极小值；
（2）若函数f（x）的图象当x＞1时总在直线y=x-1的上方，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用f（x）在x=2处有极值f′（2）=0，求出a的值，利用导数f′（x）判定出该极值是最大值；
（2）由题意，得不等式lnx+a（x-1）²-x+1＞0，求当x＞1时，不等式恒成立的a的取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

+2ax-2a，（x＞0），
∵f′（2）=0，∴a=-

1

4

；
∴f′（x）=

1

x

-

1

2

x+

1

2

=-

(x+1)(x-2)

2x

，
当x∈（0，2）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，
∴该极值是最大值；
（2）由已知，即不等式lnx+a（x-1）²-x+1＞0（*），对于x＞1恒成立，
设φ（x）=lnx+a（x-1）²-x+1＞0（x＞0），φ′（x）=

1

x

+2ax-2a-1=

(x-1)(2ax-1)

x

；
（i）当a=0时，φ′（x）=-

x-1

x

＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数，φ（x）＜φ（0）=0，
∴（*）不等式不能成立；
（ii）当a＜0时，φ′（x）=

2ax(x-1)(x- 1 2a )

x

，
∵

1

2a

＜0，∴φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数，
φ（x）＜φ（1）=0，∴（*）不等式也不能成立；
（iii）当a＞0时，φ′（x）=

2a(x-1)(x- 1 2a )

x

；
①若

1

2a

≤1，即a≥

1

2

，则φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函数，φ（x）＞φ（1）=0
∴（*）不等式成立；
②若

1

2a

＞1，即a∈（0，

1

2

），则当x∈（1，

1

2a

）时，φ′（x）＜0
φ（x）在（1，

1

2a

）上是减函数，此时有φ（

1

2a

）＜φ（1）=0，（*）不等式不恒成立；
综上，a的取值范围是{a|a≥

1

2

}．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值的问题，考查了构造函数，利用导数研究函数的最值问题，考查了不等式的恒成立问题，是综合题．